пятница, 16 декабря 2016 г.

Матричное представление бикватернионов

Бикватернионы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов с помощью эллиптический мнимой единицы умножающейся коммутативно на базисные мнимые единицы кватерниона. В этом определении мы можем использовать вместо базисных мнимых единиц кватерниона набор базисных матриц с комплекснозначными коэффициентами, полученные ранее и с той же самой мнимой единицей. При этом определение никак не изменится и мы полностью сохраним коммутационные свойства.

Выбрав в качестве набора базисных матриц полученные ранее и добавив умноженные на мнимую единицу $i$, имеем в качестве одного из возможных наборов соответствия мнимых единиц бикватерниона матрицам: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ii \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ij \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ -i & 0 \end{array} \right) $$ $$ Ik \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ I \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array} \right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) $$ Здесь мнимой единице удвоения кватернионов $I$ была сопоставлена мнимая единица на стороне матриц $i$, являющаяся обычной мнимой единицей комплексных чисел.

В бикватернионе 8 компонентов, а в комплекснозначной матрице 2x2 4 двумерных коэффициента. При этом все 8 базисных матрицы независимы друг от друга и не могут быть выражены друг через друга линейной комбинацией с действительными коэффициентами. Это же относится и к любому другому набору матриц, представляющих кватернионы и бикватернионы. Поэтому, с одной стороны, любой бикватернион может быть выражен в виде матрицы, используя один из наборов матриц представлений, и, с другой стороны, любая комплекснозначная матрица 2x2 может быть представлена бикватернионом, также используя один из наборов матриц представления.

У этого факта есть интересное следствие. Если взять бикватернион или матрицу, и перевести в соответственно матрицу или бикватернион, выполнить набор действий, и перевести обратно используя точно тот же набор базисных матриц, то получится что мы выполнили операции над исходным объектом.

Поскольку нам известно представление экспоненты от бикватерниона, мы можем составить столь же подробное представление функции логарифма от числа -- бикватерниона.

В качестве операций, выполняемых над числами -- бикватернионами, мы можем, таким образом, использовать операции, которые либо неизвестно как, либо очень сложно выполнить над матрицами. К таким операциям могут быть отнесены, в частности, возведение в степень $$ \begin{aligned} & 1) X^{a+ib} = e^{\ln(X)\cdot(a+ib)}\\ & 2) (c+id)^{X} = e^{\ln(c+id)\cdot X} \end{aligned} $$ где $a$, $b$, $c$ и $d$ -- произвольные числа, а $X$ -- комплекснозначная матрица 2x2.

В частности, извлечение квадратного корня есть операция возведения в степень $$ \left\{ \begin{aligned} & a = \frac{1}{2} \\ & b = 0 \end{aligned} \right. $$ Отыскание матричной экспоненты есть возведение в степень $$ \left\{ \begin{aligned} & c = e \\ & d = 0 \end{aligned} \right. $$ Также, как и к гиперкомплексным числам, к матрицам могут быть применены аналитические функции $\mathrm{exp}$, $\mathrm{ln}$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$. И по методике отражения матриц в бикватернионы и обратно могут быть получены и аналитические представления таких функций от матриц. Если используемая функция периодична по своему аргументу, например $\sin$ или $\ln$, то эта же функция должна быть периодична и если ее аргумент - матрица 2x2.

К недостаткам такого метода в отношении матриц можно отнести требование использовать лишь матрицы 2x2 и его неприменимость к матрицам большего размера. Для матриц большего размера необходимо получить систему уравнений большего размера, и, соответственно, исходные симплектические разложения должны относиться к алгебрам, коммутативно удвоенным из алгебры кватернионов не один раз, а несколько. Если бикватернионы получены одним удвоением, то после многократного удвоения получатся гиперкватернионы n-го порядка.

В частности, гиперкватернионом первого порядка может быть назван бикватернион, гиперкватернионом нулевого порядка кватернион, и гиперкватернионом более старшего порядка -- гиперкватернион, полученный коммутативным удвоением гиперкватерниона предыдущего порядка. Также, как и матрицы, такие алгебры должны быть ассоциативны и, в общем случае, некоммутативны по умножению.

Автор не проводил отдельного исследования гиперкватернионных алгебр большего порядка. В качестве одного из вариантов матричных представлений гиперкватернионов можно найти матрицы, вычисляемые в статье Александра Кецариса "Можно ли вывести матрицы Дирака".

Такие матрицы большего порядка могут стать основой для применения метода отображения матриц в гиперкомплексные числа, выполнения операций над ними как над гиперкомплексными числами и отображения обратно. Теоретически, даже нет необходимости вводить отдельные мнимые единицы, если можно оставаться в рамках коммутационных соотношений базисных единиц $\sigma_i$, образующих набор отображения матриц в гиперкватернионы. По сути, соотношения и формулы будут те же, если набор базисных матриц $\sigma_i$ является полным.

Ранее мы получили представление матрицами мнимых единиц бикватернионов. Выделим в них единицы, соответствующие единицам бикомплексных чисел: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ii \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ I \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array} \right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) $$ $$ z=z_0+Iiz_1+Iz_2+iz_3 $$ $$ z\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} z_0-z_1+iz_2+iz_3 & 0 \\ 0 & z_0+z_1+iz_2-iz_3 \end{array} \right) $$ Определитель такой матрицы равен: $$ \begin{array}{c} \left\|z\right\|=((z_0-z_1)+i(z_2+z_3))((z_0+z_1)+i(z_2-z_3))= \\ =(z_0-z_1)(z_0+z_1)+i(z_0-z_1)(z_2-z_3)+\\ +i(z_2+z_3)(z_0+z_1)-(z_2+z_3)(z_2-z_3)=\\ =z_0^2-z_1^2-z_2^2+z_3^2+i(2z_0z_2+2z_1z_3) \end{array} $$ Что означает такой определитель? Такое комплексное число и есть квадрат модуля бикомплексного числа. Эта величина есть произведение бикомплексного числа на ему сопряженное по единице $i$, поскольку остается комплексное число с единицей $i$, а $$ I \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array} \right) $$ значит остается произведение $z$ на сопряженное по $i$. И для нахождения полного модуля нужно построение формы 4-го порядка $$ \left|z\right|_2=z_0^2-z_1^2-z_2^2+z_3^2+i(2z_0z_2+2z_1z_3) $$ $$ \left|z\right|^4=\left|z\right|_2\left|z\right|_2^{*} $$ где $$ \left|z\right|_2^{*}=z_0^2-z_1^2-z_2^2+z_3^2-i(2z_0z_2+2z_1z_3) $$ Конечно, если бикомплексные числа представлять матрицами, то поскольку для матриц справедливо $$ \left\|A\cdot B\right\|=\left\|A\right\|\cdot\left\|B\right\| $$ то вместо модулей или четвертых степеней модулей бикомплексных чисел можно продолжать использовать такую комплексную норму: $$ \left|a\cdot b\right|_2=\left|a\right|_2\cdot\left|b\right|_2 $$

Комментариев нет:

Отправить комментарий